Что (кто) такое Бернулли числа - определение

Число Бернулли; Бернулли числа; Бернуллиевы числа

Бернулли числа

специальная последовательность рациональных чисел, фигурирующая в различных вопросах математического анализа и теории чисел. Значения первых шести Б. ч.:

B₁ = ¹/₆, B₂ = ¹/₃₀, B₃ = ¹/₄₂, B₄ = ¹/₃₀,

B₅ = ⁵/₆₆, B₆ = ⁶⁹¹/₂₇₃₀.

В математическом анализе Б. ч. появляются как коэффициенты разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Например:

К числу важнейших формул, в которых встречаются Б. ч., относится формула суммирования Эйлера - Маклорена (см. Конечных разностей исчисление). Через Б. ч. выражаются суммы многих рядов и значения несобственных интегралов. Б. ч. впервые появились в посмертной работе Я. Бернулли (1713) в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Он доказал, что

Для Б. ч. известны рекуррентные формулы, позволяющие последовательно вычислять эти числа, а также явные формулы (имеющие довольно сложный вид).

Большой интерес представляют теоретико-числовые свойства Б. ч. Немецкий математик Э. Куммер в 1850 установил, что уравнение Ферма x^p + у^р = z^p не решается в целых числах х, у, z, отличных от нуля, если простое число р > 2 не делит числителей Б. ч. B₁, B₂,...B _{(p - 3)/2.}Нередко для обозначения Б. ч. вместо B_m пишут (-1) ^{m - 1}B_2m (m = 1, 2...); кроме того, полагают

B₀ = 1, B₁ = - ¹/₂,

B₃ = B₅ = B₇ =... = 0.

Лит.: Чистяков И. И., Бернуллиевые числа, М., 1895; Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.-Л., 1936; Уиттекер Э.-Т. и Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927.

С. Б. Стечкин.

Числа Бернулли

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел B_0, B_1, B_2, \dots, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Бернулли

Бернулли, Якоб

ШВЕЙЦАРСКИЙ МАТЕМАТИК (1655—1705)

Якоб Бернулли; Бернулли Я.; Бернулли Якоб; Бернулли, Яков; Яков Бернулли

Я́коб Берну́лли (, 6 января 1655, Базель, — 16 августа 1705, Базель) — швейцарский . Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганна Бернулли, совместно с ним положил начало вариационному исчислению. Доказал частный случай закона больших чисел — теорему Бернулли. Профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Иностранный член Парижской академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1702).

https://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Якоб

Википедия

Числа Бернулли

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел $B_{0},B_{1},B_{2},\dots$ , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},

где ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}}$ — биномиальный коэффициент.

Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом $B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}$ . Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком $B_{k}$ . Кроме того, так как за исключением $B_{1}$ все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение « $B_{n}$ » для $B_{2n}$ или $|B_{2n}|$ .

https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа Бернулли